日帰り旅行の次の日で疲れているんで、今回は適当に今のアイデアを書き留めておくだけにしようと思う。
まず、図の各点にリストと循環リストを想定する。例えば最近解いている問題だったら、こう考える。
A_distance := [[?, D], [?, H, ?, C], [?, I, ?, B]] #あるいは[? : D, ?1 : H, ?1 + ? : C, ?2 : I, ?2 + ? : B]というのも考えた、しかし三つ以上の時に「?1 + ?」の次が無い
A_direction := 循環リストで[D, ?, [H, C], ?, [I, B], ?]
B_distance := [[?, C], [?, E], [?, I, ?, A]]
B_direction := 循環リストで[C, 180, E, ?, [I, A], ?]
C_distance := [[?, F], [?, B, ?, E], [?, H, ?, A], [?, G] [?, D]]
C_direction := 循環リストで[F, ?, [B, E], ?, [H, A], ?, G, ?, D, ?]
（以下もこういう風に続いていく）
まあこれは例え話のようなもので、つまりこういう風にリストや循環リストの制約として考えるという話だ。実際にそれだけの数のリストの番地を用意するのは不毛なんで、数で省略しているイメージだ。AからBへの距離は、BからAへの距離と同じ。とかそういう制約を入れて。
距離の更に中のリストは、別に辺ごとに区切ってあるわけじゃない。どの方向であれ、距離という一つの尺度で一元的に考える。同じ辺上になければどちらが長いか分からないという理由で、とりあえずこう記述してあるだけでしか無い。同じ方向と距離である時に、同じ地点だと考える。
そう考えてみると、三角形の合同条件である、「同じ長さの辺から、それぞれ同じ角度で辺が伸びていて、交点が1つに定まったとしたら、それぞれの辺の長さも同じ」というのも当たり前のことを言っていることになる。角度があって、点が定まったら、辺の長さが決まるのは当たり前のことだ。これは発見というつもりで言っているわけでは無い。
三辺が同じな場合、という合同条件もそうで、1辺から、それぞれ同じ長さの辺が伸びていて、その先が1点に定まっていたとしたら、そりゃ角度も定まっている。もう一つの合同条件である、同じ角度で2辺がそれぞれ同じ長さで伸びている、というのも、そりゃ先の2点の位置は決まるし、ある点からある点への角度や距離も1つに定まるに決まっている。
問題は、1辺からそれぞれある角度で2辺が伸びていて交点が発生した時に、その交点が2つ以上ではあり得ないということなんじゃないか。もし交点が1つであれば、そこへの距離が定まっているのは当たり前だ。
まあこの記事は、あとから振り返るためのメモ書き以上のものでは無い。
3辺が同じであれば角度も同じとか、そういう三角形の条件で分からない部分を明らかにしていくというのも変わらない。ただそういう基礎付けを考えているという話だ。
追記だけど、（ある任意の）1点が定まったとしたら、と（どこか）1点が定まったとしたら、を混同することによる自然言語的な間違いか？まあでも、そういう路線は捨ててないという話だな。